Найдите промежутки убывания функции f (x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40

Найдем производную функции:

(2 х³) ' - (3x²) ' - (36x) ' + (40) ' = 3 * 2 х^3-1 - 2 * 3x^2-1 - 36 + 0 = 6x² - 6x - 36.

Приравняем производную у нулю, чтобы найти критические точки:

6x² - 6x - 36 = 0.

Получили квадратное уравнение. Вынесем из каждого слагаемого 6 за скобку и разделим обе части на 6:

6 * (x² - x - 6) = 0;

x² - x - 6 = 0.

По теореме Виета найдем корни х₁ и х₂:

х₁ * х₂ = - 6;

х₁ + х₂ = 1;

х₁ = 3_; х₁ = - 2.

Получили интервалы (-∞; - 2), (-2; 3) и (3; + ∞). Определим знак для каждого из них. Для этого возьмем из интервала любое число и подставим в производную.

Для 1-го интервала: если х = - 3, то у = 3² + 3 - 6 = 6. В этом интервале функция возрастает.

Для 2-го интервала: если х = 0, то у = 0² - 0 - 6 = - 6. В этом интервале функция убывает.

Для 1-го интервала: если х = 4, то у = 4² - 4 - 6 = 6. В этом интервале функция возрастает.

ОТВЕТ: Функция убывает на промежутке (-2; 3).