Для функции f (x) найдите промежутки неприрывности, промежутки возростания (убывания), если: f (x) = x-2,5/x^2-4

1. Найдем производную функции:

f (x) = (x - 2,5) / (x^2 - 4); f' (x) = (x^2 - 4 - 2x (x - 2,5)) / (x^2 - 4) ^2; f' (x) = (x^2 - 4 - 2x^2 + 5x)) / (x^2 - 4) ^2; f' (x) = (-x^2 + 5x - 4)) / (x^2 - 4) ^2; f' (x) = - (x^2 - 5x + 4)) / ((x + 2) ^2 (x - 2) ^2).

2. Корни трехчлена x^2 - 5x + 4:

x = (5 ± √ (5^2 - 4 * 4)) / 2 = (5 ± √9) / 2 = (5 ± 3) / 2;

x1 = (5 - 3) / 2 = 2/2 = 1; x2 = (5 + 3) / 2 = 8/2 = 4.

3. Промежутки монотонности:

a) x ∈ (-∞; - 2), функция убывает; b) x ∈ (-2; 1], функция убывает; с) x ∈ [1; 2), функция возрастает; d) x ∈ (2; 4], функция возрастает; e) x ∈ [4; ∞), функция убывает.

Ответ:

a) функция убывает на промежутках: (-∞; - 2), (-2; 1] и [4; ∞); b) функция возрастает на промежутках: [1; 2) и (2; 4]; c) функция непрерывна на промежутках: (-∞; - 2), (-2; 2) и (2; ∞).