1) Сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна 64, а разность между 8-м и 3-м членами равна 10. Найти пятый член прогрессии. 2) Найти сумму всех натуральных чисел, каждое из которых кратное 11 и не превосходит по величине 1000. 3) Найти восьмой член геометрической прогрессии, если b4=200, q=0,1

Задача 1.

1. Задана арифметическая прогрессия, для которой:

2. Сумма первых восьми членов равна: S8 = 64;

3. Разность двух членов:

A8 - A3 = 10;

4. Любыми член прогрессии определяется как:

An = Ak + (n - k) * d;

(n - k) * d = An - Ak;

d = (An - Ak) / (n - k) = 10 / (8 - 3) = 10. 5 = 2;

5. Сумма первых n членов равна:

Sn = ((2 * A1 + (n - 1) * d) / 2) * n;

S8 = ((2 * A1 + (8 - 1) * 2) / 2) * 8 = 64;

(2 * A1 + 7 * 2) = 64 / 4;

A1 = (16 - 14) / 2 = 1;

6. Пятый член прогрессии:

An = A1 + (n - 1) * 2 = 1 + (5 - 1) * 2 = 9.

Ответ: пятый член равен 9.

Задача 2.

1. Натуральные числа, кратные 11 образуют арифметическую прогрессию A с параметрами:

2. Первый член: A1 = 11;

3. Знаменатель прогрессии: d = 11;

4. По условию задачи: An < = 1000;

An = A1 + (n - 1) * d;

n - 1 = (An - A1) / d;

n = 1 + (An - A1) / d = 1 + (1000 - 11) / 11 = 90,90;

Принимаем:

n = 90;

A90 = 11 + (90 - 1) * 11 = 990; (A90 1000)

5. Сумма: S90;

S90 = (A1 + A90) * 90 = (11 + 990) * 90 = 1001 * 90 = 90090.

Ответ: сумма равна 90090.

Задача 3.

1. Для геометрической прогрессии известно, что:

2. Четвертый член: G4=200;

3. Знаменатель прогрессии: q=0,1;

4. Любой член можно определить по формуле:

Gn = Gk * q^ (n - k);

G8 = G4 * q^ (8 - 4) = 200 * (0,1) ^4 = 200 / 10^4 = 0,02.

Ответ: восьмой член прогрессии равен 0,02.