Производная функции f (x) равна f' (x) = (x-3) (x-1) (x-2) ^2. Найдите сумму длин промежутков убывания функции

Функция f (x) убывает там, где ее производная меньше нуля. Согласно условию задачи, f' (x) = (x-3) (x-1) (x-2) ^2. Для ответа на поставленный вопрос необходимо решить неравенство

(x-3) (x-1) (x-2) ^2 < 0

Решаем данное неравенство методом интервалов. Для этого находим корни уравнения

(x-3) (x-1) (x-2) ^2 = 0

Очевидно, корнями этого уравнения являются х = 1, х = 2 и x = 3. Эти три корня разбивают координатную прямую на 4 промежутка:

(-∞; 1) (1; 2), (2; 3) и (3; +∞)

На участке (-∞; 1) выбираем любую точку и узнаем положительно или отрицательно выражение (x-3) (x-1) (x-2) ^2 в этой точке. Возьмем х = 0. В этой точке

f' (0) = (0-3) (0-1) (0-2) ^2 = (-3) (-1) (-2) ^2 = 12

Таким образом, на всем интервале (-∞; 1) f' (x) положительна, а функция f (x) возрастает.

Согласно методу интервалов при переходе через х = 1 f' (x) меняет знак и становится отрицательной.

Поскольку сомножитель (x-2) входит в выражение производной в четной степени, при переходе через х = 2 f' (x) не меняет знак и остается отрицательной

При переходе через х = 3 f' (x) меняет знак и снова становится положительной.

Таким образом f' (x) является отрицательной на промежутках (1; 2), (2; 3). На этих же промежутках функция f (x) убывает. Сумма длин этих промежутков равна 2

Ответ: сумма длин промежутков убывания функции равна 2