При каких значениях а уравнение ах=х-2 (по модулю) имеет хотя бы одно решение?

Рассмотрим два случая для уравнения:

ах = |х - 2|.

1. x ∈ (-∞; 2). ах = - х + 2; ах + x = 2; (а + 1) х = 2; (1)

a) при нулевом значении первого коэффициента получим неверное равенство:

a + 1 = 0; a = - 1; 0 * x = 2,

следовательно, уравнение в этом случае не имеет решения.

b) при a ≠ - 1 уравнение (1) будет иметь решение при условии:

x = 2 / (a + 1) < 2; 1 / (a + 1) < 1; 1 / (a + 1) - 1 < 0; (1 - a - 1) / (a + 1) < 0; - a / (a + 1) <0; a / (a + 1) > 0; a ∈ (-∞; - 1) ∪ (0; ∞). 2. x ∈ [2; ∞). ах = х - 2; ах - х = - 2; (а - 1) х = - 2. (2)

a) при нулевом значении первого коэффициента получим неверное равенство:

a - 1 = 0; a = 1; 0 * x = - 2,

следовательно, уравнение в этом случае не имеет решения.

b) при a ≠ 1 уравнение (2) будет иметь решение при условии:

x = - 2 / (a - 1) ≥ 2; - 1 / (a - 1) ≥ 1; - 1 / (a - 1) - 1 ≥ 0; - a / (a - 1) ≥ 0; a / (a - 1) ≤ 0;

a ∈ [0; 1).

Объединение решений для двух случаев:

a ∈ ((-∞; - 1) ∪ (0; ∞)) ∪ [0; 1);

a ∈ (-∞; - 1) ∪ [0; ∞).

Ответ: a ∈ (-∞; - 1) ∪ [0; ∞).