Log^2 (x-1) + log^2 (x+1) = log^2 (2)

log₂ (x - 1) + log₂ (x + 1) = log₂2.

Разберем ОДЗ (область допустимых значений), значение выражения под знаком логарифма должно быть больше нуля.

х - 1 > 0; x > 1.

x + 1 > 0; x > - 1.

Решение ОДЗ: х принадлежит промежутку (1; + ∞).

По правилу сложения логарифмов:

log₂ (x - 1) (x + 1) = log₂2.

Получается уравнение: (х - 1) (х + 1) = 2.

Раскрываем скобки по формуле разности квадратов (а - b) (а + b) = а² - b²:

х² - 1 = 2.

х² = 1 + 2.

х² = 3.

Отсюда х = - √3 и х = √3.

Корень - √3 не подходит (не удовлетворяет условию ОДЗ).

Ответ: корень уравнения равен √3.