Решить с помощью системы уравнении: 1) Среднее арифметическое двух чисел равно 7, а разность квадратов - 14. Найдите сумму квадратов этих чисел. 2) Произведение двух положительных чисел равно 96. Одно из них на 4 больше другого. Найдите эти числа. 3) Найдите числа, сумма которых равна 20, а произведение 75.

Составим и решим систему уравнений для каждой задачи:

1)

{ (a + b) / 2 = 7;

{a^2 - b^2 = - 14; {a + b = 14;

{ (a + b) (a - b) = - 14; {a + b = 14;

{14 (a - b) = - 14; {a + b = 14;

{a - b = - 1; {2a = 14 - 1;

{2b = 14 + 1; {2a = 13;

{2b = 15; {a = 13/2;

{b = 15/2.

a^2 + b^2 = (13/2) ^2 + (15/2) ^2 = 169/4 + 225/4 = 394/4 = 98,5.

2) a > 0; b > 0;

{ab = 96;

{b = a + 4; {a (a + 4) = 96;

{b = a + 4; a^2 + 4a - 96 = 0; D/4 = 2^2 + 96 = 100 = 10^2; a = - 2 ± 10; a1 = - 12; b1 = - 8, не подходят; a2 = 8; b2 = 12.

3)

{a + b = 20;

{ab = 75.

a и b - корни квадратного уравнения:

p^2 - 20p + 75 = 0; D/4 = 10^2 - 75 = 25 = 5^2; p = 10 ± 5; p1 = 5; p2 = 15.

Ответ:

1) 98,5; 2) 8 и 12; 3) 5 и 15.