В школе 733 ученика. Каждый день в течение всего года у кого нибудь из них день рождения. Могут ли дни рождения трех учеников быть в один день

Ответ: да, могут

Предположим, что это обычный год. В году 365 дней. Достаточно 365 человек с днями рождения в разные дни, чтобы соблюсти первое условие. Разумеется у всех остальных учеников даты дней рождения будут совпадать с кем то из первых 365. Даже если предположить, что у следующих учеников дни рождения в разные дни, то мы имеем 2 дня рождения каждый день. 365 + 365 = 730. Остаются еще три ученика, и даже если у них дни рождения также а разные дни, мы имеем три варианта дней рождения, приходящихся на одну дату.

Однако следует заметить, что в задаче жестко оговорено только одно условие: "день рождения каждый день у кого-нибудь". Для этого достаточно 365 учеников. Дни рождения других могут быть когда угодно и значит вариантов пересечения по 3 может быть значительно больше. Заметим, что не только по 3 дня рождения в один день.