Площадь треугольника равна 6 а его периметр 12. Найдите радиус вписанной окружности. С решением

Существует теорема, согласно которой биссектрисы всех трех углов треугольника пересекаются в центре вписанной в треугольник окружности.

Из каждой вершины проведем биссектрисы до центра окружности O, а из центра окружности опустим на каждую сторону высоту. Получили три треугольника, боковыми сторонами которого являются биссектрисы.

Пусть вершины треугольника называются А, В, С, а стороны, противолежащие им, соответственно равны а, b, с.

Найдем площадь треугольника АВС, как сумму треугольников, лежащих внутри него:

S_ABC = S_AOB + S_AOC + S_BOC = 1/2r * b + 1/2r * c + 1/2r * a = 1/2r * (a + b + c).

(a + b + c) - это сумма всех сторон треугольника, то есть периметр, он равен 12. Площадь тоже знаем. Найдем радиус:

S_ABC = 1/2r * (a + b + c);

6 = 1/2r * 12;

1/2r = 6 : 12;

1/2r = ½;

r = ½ : ½;

r = 1.

ОТВЕТ: радиус равен единице.