Найти точки экстремума функции двух независимых переменных z=f (x, y) z=2x^2+3xy+y^2-yx

1. Вычислим частные производные первого порядка и найдем стационарные точки функции:

z = f (x, y); z = 2x^2 + 3xy + y^2 - yx; z = 2x^2 + 2xy + y^2; δz/δx = 4x + 2y; δz/δy = 2x + 2y; {4x + 2y = 0;

{2x + 2y = 0; {x = 0;

{y = 0.

M0 (0; 0) - стационарная точка.

2. Найдем значения частных производных второго порядка в точке M0 (0; 0) и дискриминант D:

f"xx (x; y) = 4; A = f"xx (0; 0) = 4; f"xy (x; y) = 2; B = f"xy (0; 0) = 2; f"yy (x; y) = 2; C = f"yy (0; 0) = 2; D = AC - B^2 = 4 * 2 - 2^2 = 8 - 4 > 0.

Дискриминант положительный, значит, M0 - точка экстремума. А из условия A > 0 следует, что M0 - точка минимума.

Ответ: (0; 0).