Упростите (cos3x+cosx) ^2 + (sin3x+sinx) ^2

1. Возведем в квадрат суммы двух выражений по соответствующей формуле:

f (x) = (cos3x + cosx) ^2 + (sin3x + sinx) ^2; f (x) = cos^2 (3x) + 2cos3x * cosx + cos^2x + sin^2 (3x) + 2sin3x * sinx + sin^2x.

2. Воспользуемся тригонометрическими формулами:

sin^2α + cos^2α = 1; cos (α - β) = cosα * cosβ + sinα * sinβ; 1 + cos2α = 2cos^2α; f (x) = 1 + 2cos3x * cosx + 1 + 2sin3x * sinx; f (x) = 2 + 2 (cos3x * cosx + sin3x * sinx); f (x) = 2 + 2cos (3x - x); f (x) = 2 + 2cos2x; f (x) = 2 (1 + cos2x); f (x) = 4cos^2x.

Ответ: 4cos^2x.