Разложите на множители: 2) (x-3y) ^4-27x+81y 2) (a-2b) ^3 - (a+2b) ^3

Решение:

Сгруппируем 2 и 3 слагаемые, вынесем 27 за скобку:

(x - 3y) ⁴ - 27x + 81y = (x - 3y) ⁴ - 27 (x + 3y).

Вынесем (x + 3y) за скобку:

(x + 3y) ((x - 3y) ³ - 27) = (x + 3y) ((x - 3y) ³ - 3³).

Разложим через а³ - b³ = (a - b) (а² + ab + b²), применим квадрат разности (а - b) ² = (а² - 2ab + b²) и упростим:

(x + 3y) ((x - 3y - 3) ((x - 3y) ² + 3 (x - 3y) + 9) = (x + 3y) ((x - 3y - 3) (x² - 6xy + 9y² + 3x - 9y + 9).

Разложим как разность кубов а³ - b³ = (a - b) (а² + ab + b²):

(a - 2b) ³ - (a + 2b) ³ = (a - 2b - (a + 2b)) ((a - 2b) ² + (a - 2b) (a + 2b) + (a + 2b) ²).

Упрощаем, используя (а - b) ² = (а² - 2ab + b²); (а + b) ² = (а² + 2ab + b²) и а² - b² = (a - b) (а + b):

- 4b (a² - 4 ab + 4b² + a² - 4b ² + a² + 4 ab + 4b ²) = - 4b (3a² + 4b²).

Ответ: (x - 3y) ⁴ - 27x + 81y = (x + 3y) ((x - 3y - 3) (x² - 6xy + 9y² + 3x - 9y + 9); (a - 2b) ³ - (a + 2b) ³ = - 4b (3a² + 4b²).