Найдите наибольшее значение выражения cos^11 x + sin^6 x

1. Для функций синус и косинус справедливы неравенства:

sinx ≤ 1; cosx ≤ 1.

Отсюда имеем:

sin^4x ≤ 1; sin^4x * sin^2x ≤ sin^2x; sin^6x ≤ sin^2x. (1) cos^9x ≤ 1; cos^9x * cos^2x ≤ cos^2x; cos^11x ≤ cos^2x. (2)

2. Сложив неравенства (1) и (2), получим:

cos^11x + sin^6x ≤ cos^2x + sin^2x = 1; cos^11x + sin^6x ≤ 1. (3)

3. Из неравенства (3) следует, что значение исходного выражения не превосходит единицу. В то же время этого значения функция достигает, например, в точках 0, π/2 и т. д.:

cos^11 (0) + sin^6 (0) = 1 + 0 = 1; cos^11 (π/2) + sin^6 (π/2) = 0 + 1 = 1.

Ответ: 1.