2sin^{2}x + 5cos + 1 = 0[/tex]

1. Воспользуемся тригонометрической формулой, чтобы привести квадратное уравнение к стандартному виду:

sin²x + cos²x = 1; 2sin²x + 5cosx + 1 = 0; 2 (1 - cos²x) + 5cosx + 1 = 0; 2 - 2cos²x + 5cosx + 1 = 0; 3 - 2cos²x + 5cosx = 0; 2cos²x - 5cosx - 3 = 0.

2. Решим относительно cosx:

D = b² - 4ac; D = (-5) ² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49; cosx = (-b ± √D) / 2a; cosx = (5 ± √49) / (2 * 2) = (5 ± 7) / 4.

1) cosx = (5 - 7) / 4 = - 2/4 = - 1/2;

x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

2) cosx = (5 + 7) / 4 = 12/4 = 3 > 1 нет решений.

Ответ: ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z.