С числами можно выполнять следующие операции умножать на 2 или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только нуль ставить на первое место. можно ли с помощью таких операций из 1 получит 78

Мы умеем только увеличивать число в 2 раза или переставлять разряды местами. И результат нам надо получить до того как мы дойдём до трёхзначных чисел, так как уменьшать их мы никак не можем. Попробуем попытаться восстановить с конца цепочку преобразования числа 78, если это возможно.

Число 78 могло бы быть получено из числа 87, которое является нечётным, на 2 не делится и потому никак не может получиться кроме как из числа 78.

Либо число 78 могло бы быть получено из своей половины, 78 / 2 = 39.

У числа 39 не чётны оба разряда. Значит ни 39 ни 93 получиться никак не могли.

Вывод. Число 78 получить используя описанное правило невозможно.