Для каких натуральных n число (а2+в2) n (в степени n), где а и в - различные натуральные числа, является суммой квадратов двух натуральных чисел?

Это верно при всех натуральных n. Можно доказать методом математической индукции. При n=1 это очевидно верно, т. к. (a² + b²) ¹ = а² + b². Предположим, что это верно при n, т. е. верно (a² + b²) ⁿ = c² + d². Тогда (a² +b ²) ^{n + 1} = (c² + d²) (a² + b²) = (ac - bd) ² + (ad + bc) ². По этим формулам для всех степеней n можно последовательно получать представления в виде суммы квадратов из любой начальной пары а и b.