Найти координаты вершин треугольника, если даны координаты одной его вершины B (6; 14) и уравнения его высоты: x+4y-9=0 и биссектрисы 4x+7y-12=0, проведенных из одной вершины.

Допустим, что данный треугольник имеет вершины А, В и С, у которого координаты вершины B заданы (6; 14). Пусть высота (с уравнением x + 4 * y - 9 = 0) и биссектриса (с уравнением 4 * x + 7 y - 12 = 0) проведены из вершины А. Очевидно, что если решим совместно (как систему линейных уравнений) уравнения высоты и биссектрисы, то найдём координаты вершины А. Используя уравнение высоты, найдём: х = - 4 * у + 9. Подставим это выражение в уравнение биссектрисы. Тогда 4 * (-4 * у + 9) + 7 y - 12 = 0 или - 16 * у + 7 * у = 12 - 36, откуда у = - 24 / (-9) = 8/3. Следовательно, х = - 4 * (8/3) + 9 = (-32 + 27) / 3 = - 5/3. Значит, координатами вершины А являются (-5/3; 8/3). Для того, чтобы найти координаты вершины С, сначала составим уравнение стороны ВС треугольника АВС. Пусть искомое уравнение прямой ВС имеет вид y = k * x + b. Поскольку высота, проведённая через вершину А перпендикулярна к ВС, то приведя уравнение высоты к виду у = - ¼ * х + 9/4, воспользуемся условием перпендикулярности прямых: - ¼ * k = - 1. Ясно, что k = 4. Точка В лежит на прямой ВС, следовательно, справедливо равенство 14 = 4 * 6 + b. Имеем: b = 14 + 24 = - 10. Значит, искомое уравнение прямой ВС имеет вид y = 4 * x - 10. Теперь составим уравнение прямой АВ. Для этого, воспользуемся уравнением, проходящим через заданные две точки. Имеем: (х - (-5/3)) / (6 - (-5/3)) = (у - 8/3) / (14 - 8/3) или 34 * x - 23 * y + 118 = 0, откуда у = (34/23) * х + 118/23. Уравнение биссектрисы перепишем в виде у = - (1/7) * х + 12/7. Допустим, что биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Найдём тангенс угла ∠BAD. Вычислим: tg∠BAD = ((-1/7) - (34/23)) / (1 + (-1/7) * (34/23)) = - 261/127. Составим уравнение прямой АС. Пусть оно имеет вид y = k * x + b. Согласно условия задания, ∠BAD = ∠DАС. Тогда tg∠BAD = tg∠DАС. Имеем: tg∠DАС = (k - (-1/7)) / (1 + k * (-1/7)) = (7 * k + 1) / (7 - k). Тогда (7 * k + 1) / (7 - k) = - 261/127 или 127 * (7 * k + 1) = - 261 * (7 - k), откуда k = (-261 * 7 - 127) / (127 * 7 - 261) = - 1954/628 = - 977/314. Точка А лежит на прямой АС. Поэтому справедливо равенство 8/3 = - 977/314 * (-5/3) + b. Имеем: b = (8/3) - (977 * 5) / (314 * 3) = - 791/314. Значит, искомое уравнение прямой AС имеет вид y = (-977/314) * x - 791/314. Координаты точки С найдём решая совместно уравнения прямых АС и ВС. Имеем: 4 * x - 10 = (-977/314) * x - 791/314, откуда х = (10 - 791/314) / (4 + 977/314) = 81/77. Вычислим: у = 4 * (81/77) - 10 = - 446/77. Следовательно, координатами вершины C являются (81/77; - 446/77).

Ответ: А (-5/3; 8/3), B (6; 14) и С (81/77; - 446/77).