Площадь прямоугольного треугольника равна 24^2 а его гипотенуза 10 см каковы катеты треугольника решить с помощью системы уравнений второй степени

Обозначим (в сантиметрах) через а, b - катеты и через с - гипотенузу данного прямоугольного треугольника. Как известно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника, то есть (½) * а * b = 24 или а * b = 48. Согласно теореме Пифагора, а² + b² = с². По условию задания гипотенуза треугольника равна 10 см. Значит, а² + b² = 10² или а² + b² = 100. Таким образом, получили следующую систему уравнений второй степени: а * b = 48 и а² + b² = 100. Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 2 и найдём алгебраическую сумму полученного и второго уравнения: а² + 2 * а * b + b² = 100 + 2 * 48 или, используя формулу сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы), (a + b) ² = 14². Извлекая арифметический квадратный корень с обеих сторон последнего равенства, получим a + b = 14. Равенства a + b = 14 и а * b = 48, согласно теореме Виета, позволяют утверждать, что а и b являются корнями квадратного уравнения х² - 14 * х + 48 = 0. Решим его. С этой целью, вычислим дискриминант D = (-14) ² - 4 * 1 * 48 = 196 - 192 = 4 > 0. Значит, квадратное уравнение имеет два действительных корня: х₁ = (14 - √ (4)) / 2 = 6 и х₂ = (14 + √ (4)) / 2 = 8. Таким образом, катеты данного треугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.