1. Покажите, что произведение суммы любых двух положительных чисел и суммы их обратных величин не меньше 4. 2. За каждый удачный выстрел стрелку начисляют 8 очков, а за каждый неудачный - снимают 27 очков. Сделав меньше 40 выстрелов, стрелок набрал 97 очков. Сколько удачных и сколько неудачных выстрелов он сделал?

1) Вводим две переменные.

Пусть m - первое положительное число, n - второе.

Запишем выражение для произведения:

(m + n) * (1/m + 1/n) = (m + n) * (m + n) / (m * n) = (m^2 + 2 * m * n + n^2) / (m * n) = m/n + 2 + n/m.

Независимо от значений переменных, сумма двух этих дробей будет больше двух (или равна двум, если переменные равны). Значит, произведение не меньше четырех.

2) Пусть m - количество попаданий, n - количество промахов.

Получим:

m + n < 40;

8 * m - 27 * n = 97;

8 * m = 27 * n + 97;

m = 27/8 * n + 97/8;

27/8 * n + 97/8 + n < 40;

35/8 * n < 223/8;

35 * n < 223;

n < 6,37;

n - нечетное, так как 8 * m - 27 * n - нечетное.

n = 5, например:

8 * m - 27 * 5 = 97;

8 * m = 97 + 135;

8 * m = 232;

m = 29.