1) даны точки A (1; 2; 1) B (2; - 1; 3) C (3; альфа; бета). при каких значениях альфа и бета точка C лежит на прямой AB?

Условием того, что точки А, В и С лежат на одной прямой будет колинеарность векторов АВ и АС. А условием колинеарности векторов, в свою очередь, служит пропорциональность их координат.

Сначала найдем координаты векторов АС и АВ (от координат конца вектора отнять координаты начала):

АС (2, α - 2, β - 1);

АВ (1, - 3, 2).

Теперь запишем пропорциональность:

2 / 1 = (α - 2) / - 3 = (β - 1) / 2.

Решим две пропорции:

1) 2 / 1 = (α - 2) / - 3;

α - 2 = 2 * (-3);

α - 2 = - 6;

α = - 4.

2) 2 / 1 = (β - 1) / 2;

β - 1 = 2 * 2;

β - 1 = 4;

β = 5.