Докажите неравенство, если x>0, y>0, z>0 (1+y/x) (1+z/y) (1+x/z) > (или=) 8

Требуется доказать неравенство:

(1 + y / x) * (1 + z / y) * (1 + x / z) ≥ 8, если x > 0, y > 0, z > 0.

Обозначения

Обозначим:

y / x = p; z / y = q; x / z = r.

Т. к. переменные x, y и z положительны, то их отношения тоже будут положительными числами:

p > 0; q > 0; r > 0.

Заметим также, что:

p * q = (y / x) * (z / y) = z / x = 1 / (x / z) = 1 / r;

q * r = (z / y) * (x / z) = x / y = 1 / (y / x) = 1 / p;

p * r = (y / x) * (x / z) = y / z = 1 / (z / y) = 1 / q;

p * q * r = (y / x) * (z / y) * (x / z) = 1.

Следовательно, нужно доказать неравенство:

(1 + p) * (1 + q) * (1 + r) ≥ 8, или

(1 + p) * (1 + q) * (1 + r) - 8 ≥ 0. (1)

Преобразование левой части неравенства

Для удобства преобразований, левую часть неравенства (1) обозначим M:

M = (1 + p) * (1 + q) * (1 + r) - 8;

M = 1 + (p + q + r) + (p * q + q * r + r * p) + p * q * r - 8;

M = 1 + (p + q + r) + (1 / p + 1 / q + 1 / r) + 1 - 8;

M = (p + q + r) + (1 / p + 1 / q + 1 / r) - 6.

Выделение квадратов двучленов

Выделим полные квадраты двучленов:

M = (p + q + r) + (1 / p + 1 / q + 1 / r) - 6.

M = (p + 1 / p) + (q + 1 / q) + (r + 1 / r) - 6;

M = (p - 2 + 1 / p) + (q - 2 + 1 / q) + (r - 2 + 1 / r);

M = (√p - 1 / √p) ² + (√q - 1 / √q) ² + (√r - 1 / √r) ².

Так как квадрат каждого двучлена принимает только неотрицательные значения, то их сумма тоже неотрицательна:

(√p - 1 / √p) ² + (√q - 1 / √q) ² + (√r - 1 / √r) ² ≥ 0, следовательно

(1 + p) * (1 + q) * (1 + r) - 8 ≥ 0;

(1 + y / x) * (1 + z / y) * (1 + x / z) ≥ 8.

Что и требовалось доказать.