Log1/2 (2x²-4x-14)

Разделим обе части на (-1), а так как делим на отрицательное число, то меняем знак неравенства на противоположный:

- log_1/2 (2x² - 4x - 14) > 1.

Внесем (-1) перед логарифмом в левой части в степень основания:

log_{1/2^ (-1)} (2x² - 4x - 14) > 1;

log2 (2x² - 4x - 14) > 1.

Представим правую часть как логарифм с основанием 2:

log2 (2x² - 4x - 14) > log₂ (2²);

log2 (2x² - 4x - 14) > log₂ (4).

Отбрасываем логарифмы и получаем неравенство:

2x² - 4x - 14 > 4.

Перенесем 4 в левую часть и решим квадратное уравнение:

2x² - 4x - 14 - 4 > 0;

2x² - 4x - 18 > 0.

Разделим все на 2:

x² - 2x - 9 > 0;

D = (-2) ² - 4 * (-9) = 4 + 36 = 40;

x₁ = (2 - √40) / 2 = (2 - √ (4 * 10)) / 2 = (2 - 2√10) / 2 = 1 - √10;

x₂ = (2 + √40) / 2 = (2 + √ (4 * 10)) / 2 = (2 + 2√10) / 2 = 1 + √10.

Решение находится на промежутках х ∈ ( - ∞; 1 - √10) U (1 + √10; + ∞).

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

2x² - 4x - 14 > 0.

Разделим все на 2:

x² - 2x - 7 > 0;

D = (-2) ² - 4 * (-7) = 4 + 28 = 32;

x₁ = (2 - √32) / 2 = (2 - √ (16 * 2)) / 2 = (2 - 4√2) / 2 = 1 - 2√2;

x₂ = (2 + √32) / 2 = (2 + √ (16 * 2)) / 2 = (2 + 4√2) / 2 = 1 + 2√2.

ОДЗ не мешает найденному решению.

Ответ: х ∈ ( - ∞; 1 - √10) U (1 + √10; + ∞).