Решите биквадратные уравнения: x^4-11x^2-80=0; 16x^4+4x^2-2=0

1) Введем новую переменную, пусть х² = с, тогда x⁴ = с².

x⁴ - 11x² - 80 = 0.

с² - 11c - 80 = 0.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант.

D = (-11) ² - 4 * 1 * (-80) = 121 + 320 = 441 (√D = 21);

c₁ = (11 - 21) / 2 = - 10/2 = - 5.

c₂ = (11 + 21) / 2 = 32/2 = 16.

Вернемся к замене х² = с.

с = - 5; х² = - 5 (корней нет, квадрат числа всегда положительный).

с = 16; х² = 16; х = ±4.

Ответ: - 4 и 4.

2) Введем новую переменную, пусть х² = p, тогда x⁴ = p².

16x⁴ + 4x² - 2 = 0.

16p² + 4p - 2 = 0.

Решаем получившееся квадратное уравнение через дискриминант.

D = 4² - 4 * 16 * (-2) = 16 + 128 = 144 (√D = 12);

р₁ = (-4 - 12) / (2 * 16) = - 16/32 = - 1/2.

р₂ = (-4 + 12) / (2 * 16) = 8/32 = 1/4.

Вернемся к замене х² = р.

р = - 5; х² = - 1/2 (корней нет, квадрат числа всегда положительный).

р = 1/4; х² = 1/4; х = ±1/2.

Ответ: - 1/2 и 1/2.