Геометрическая прогрессия. b6=15, b8=5. Найдите q и b7 (b7>0)

Дана геометрическая прогрессия {b_n}, для которой справедливы равенства b₆ = 15 и b₈ = 5. По требованию задания, вычислим знаменатель q и седьмой член b₇ данной геометрической прогрессии. Как известно, для того, чтобы можно было иметь полную картину про геометрическую прогрессию {b_n}, достаточно знать всего два её параметра: первый член b₁ и знаменатель q. В задании, даны шестой b₆ и восьмой b₈ члены геометрической прогрессии. Воспользуемся формулой b_n = b₁ * q^{n - 1} общего (n-ого) члена геометрической прогрессии. Используя эту формулу дважды к данным равенствам задания, получим следующие два равенства (уравнения с неизвестными b₁ и q) : b₁ * q^{6 - 1} = 15 и b₁ * q^{8 - 1} = 5. Преобразуя эти уравнения, имеем: b₁ * q⁵ = 15 и b₁ * q⁷ = 5. Эти уравнения позволяют написать следующее равенство (b₁ * q⁷) : (b₁ * q⁵) = 5 : 15 или q^{7 - 5} = 1/3 откуда q² = 1/3. Этому равенству удовлетворяют два различных значения знаменателя: а) q = - √ (3) / 3 и б) q = √ (3) / 3. В случае а) q = - √ (3) / 3, имеем: b₇ = b₆ * q = 15 * (-√ (3) / 3) = - 5√ (3) < 0. Однако, по требованию задания b₇ > 0, то есть, b₇ = - 5√ (3) не удовлетворяет требованию задания. В случае б) q = √ (3) / 3, получим: b₇ = b₆ * q = 15 * (√ (3) / 3) = 5√ (3) > 0. Это значение b₇ удовлетворяет требованиям задания.

Ответы: q = √ (3) / 3; b₇ = 5√ (3).