Дана функция f (x) = 2 х+3 3√x ^2 Найдите: а) критические точки функции f (x) на отрезке [-8; 1]; б) наибольшее и наименьшее значения функции f (x) на отрезке [-8; 1];

Рассмотрим функцию f (x) = 2 * х + 3 * ³√ (х²). По требованию задания, найдём критические точки, а также наибольшее и наименьшее значения данной функции на отрезке [-8; 1]. Напомним, что необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f (x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует. Критические точки функции - это точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует. Если производная равна 0, то функция в этой точке принимает локальный минимум или максимум. а) Найдем производную функции: y' = f Ꞌ (x) = (2 * x + 3 * x^2/3) ' = 2 + 2 * x^-1/3 = 2 + 2 / x^⅓. Последний вид производной нашей функции наглядно показывает, что она при х = 0 не имеет смысла (на 0 делить нельзя), то есть, в этой точке она бесконечна. Таким образом, нашли одну критическую точку х = 0. Для того, чтобы найти другие критические точки (если, конечно, таковые существуют), приравнивая производной к нулю, получим уравнение 2 + 2 / x^⅓ = 0. Решим его, считая х ≠ 0. Имеем (2 * x^⅓ + 2) / x^⅓ = 0 или (с учётом х ≠ 0) x^⅓ = - 1, откуда х = - 1. Это означает, что нашли ещё одну критическую точку х = - 1. Поскольку найденные критические точки принадлежат отрезку [-8; 1], то Ответ: х = 0 и х = - 1. б) Проверим поведение функции в достаточной близкой окрестности критических точек. С этой целью, определим значение (точнее, его знак) производной до и после критических точек. Сначала исследуем критическую точку х = - 1. Имеем f Ꞌ (x) > 0 при х = [-8; - 1) и f Ꞌ (x) < 0 при (-1; 0). Это означает, что данная функция принимает максимальное значение (локальный максимум) при х = - 1, а её значение равно f (-1) = 2 * (-1) + 3 * ³√ ((-1) ²) = - 2 + 3 * 1 = 1. Теперь рассмотрим критическую точку х = 0. Поскольку данная функция в этой точке непрерывна и f Ꞌ (x) 0), то данная функция принимает минимальное значение (локальный минимум) при х = 0 и её значение равно f (0) = 2 * 0 + 3 * ³√ (0²) = 0. Вычислим, теперь, значение функции на краях отрезка: f (-8) = 2 * (-8) + 3 * (-8) ^2/3 = - 16 + 3 * 4 = - 4; f (1) = 2 * 1 + 3 * 1^2/3 = 2 + 3 = 5. Сравнивая найденные значения, f (-8) = - 4, f (-1) = 1, f (0) = 0 и f (1) = 5, даём Ответ: На отрезке [-8; 1] данная функция имеет наибольшее f (1) = 5 и наименьшее f (-8) = - 4 значения.