Семизначное число называется "уравновешенным", если в нем все цифры являются простыми числами и каждая из них встречается менее трех раз. Сколько таких чисел?

Среди цифр простыми числами являются 2, 3, 5, 7.

Любая из них встречается в нашем семизначном числе менее трех раз.

Рассмотрим любое, состоящее из них, семизначное число, например:

22335577.

Мы получили восьмизначное число! Одна цифра лишняя!

Есть четыре варианта ее удалить.

Тогда, в нашем числе останется три пары цифр и еще одна непарная, например:

2233557.

Если бы все оставшиеся 7 цифр были разными ... Мы могли бы получить из них 7! различных семизначных чисел.

Однако в любом числе мы можем переставить местами пару одинаковых цифр без изменения числа.

Значит, для первой пары совпадающих цифр есть два варианта расположения, два для второй, и - два для третьей! То есть, если переставлять только парные цифры, как различные, для любого семизначного уравновешенного числа есть 2∙2∙2 = 8 вариантов такой перестановки. Поэтому, общее количество таких чисел меньше 7! в 8 раз.

7!/8 = 630.

Не нужно забывать, что есть 4 варианта отбросить одну цифру:

630∙4 = 2520;

Ответ: таких чисел 2520.