Найти область значения функции y=sin^8 [x]+cos^8 [x]

1. Преобразуем функцию:

y = sin^8 (x) + cos^8 (x);

y = (sin^4 (x) + cos^4 (x)) ^2 - 2sin^4 (x) * cos^4 (x);

y = { (sin^2 (x) + cos^2 (x)) ^2 - 2sin^2 (x) * cos^2 (x) }^2 - 2sin^4 (x) * cos^4 (x);

y = {1 - 1/2 * (2sin (x) cos (x)) ^2 }^2 - 1/8 * (2sin (x) cos (x)) ^4;

y = (1 - 1/2 * sin^2 (2x)) ^2 - 1/8 * sin^4 (2x). (1)

2. Обозначим:

z = 1/4 * sin^2 (2x);

1/2 * sin^2 (2x) = 2z;

z^2 = 1/16 * sin^4 (2x);

1/8 * sin^4 (2x) = 2z^2.

3. Область значений sin^2 (2x):

[0; 1],

следовательно, область значений z:

[0; 1/4].

4. Подставим значение sin^2 (2x) в уравнении (1):

y = (1 - 2z) ^2 - 2z^2.

y = 1 - 4z + 4z^2 - 2z^2;

y = 2z^2 - 4z + 1.

5. Точки экстремума:

y' = 4z - 4 = 0;

z = 1, точка минимума.

6. Функция y (z) убывает на промежутке:

[0; 1/4];

y (min) = y (1/4) = 2 * 1/16 - 4 * 1/4 + 1 = 1/8 - 1 + 1 = 1/8;

y (max) = y (0) = 1.

7. Область значений y:

[1/8; 1].

Ответ: [1/8; 1].