А) sin^2x - 3 sin x cos x + 2 cos ^ 2x = 0 б) sin x * cos x - корень3 cos ^2x = 0 в) 3 sin ^2 x - 3 sin x con x + 4 cos ^2 x = 0

А) sin^2x - 3 sin x cos x + 2 cos ^ 2x = 0;

sin^2x/cos ^ 2 x - 3 sin x cos x/cos ^ 2 x + 2 cos ^ 2x / cos ^ 2 x = 0;

tg ^ 2 x - 3 * sin x/cos x + 2 = 0;

tg ^ 2 x - 3 * tg x + 2 = 0;

D = b ^ 2 - 4 * a * c = 9 - 4 * 1 * 2 = 1;

1) tg x = (3 + 1) / 2 = 4/2 = 2;

Уравнение не имеет корней;

2) tg x = (3 - 1) / 2 = 2/2 = 1;

x = pi/4 + pi * n, где n принадлежит Z;

Ответ: x = pi/4 + pi * n, где n принадлежит Z.

б) sin x * cos x - √3 cos ^2x = 0;

sin x * cos x/cos ^ 2 x - √3 cos ^2x/cos ^ 2 x = 0;

sin x/cos x - √3 = 0;

tg x = √3;

x = pi/3 + pi * n, где n принадлежит Z;

Ответ: x = pi/3 + pi * n, где n принадлежит Z.

в) 3 sin ^2 x - 3 sin x cos x + 4 cos ^2 x = 0;

3 sin ^2 x/cos ^ 2 x - 3 sin x cos x/cos ^ 2 x + 4 cos ^2 x/cos ^ 2 x = 0;

3 * tg ^ 2x - 3 * tg x + 4 = 0;

D = b ^ 2 - 4 * a * c = 9 - 4 * 3 * 4 = 9 - 48 = - 39;

Уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Разложение выражения на множители

а) sin²x - 3 * sinx * cosx + 2 * cos²x = 0.

Выделим множители sinx и 2cosx за скобки:

sin²x - 3 * sinx * cosx + 2 * cos²x = 0;

sin²x - sinx * cosx - 2 * sinx * cosx + 2 * cos²x = 0;

sinx * (sinx - cosx) - 2 * cosx * (sinx - cosx) = 0.

Выделим множитель sinx - cosx за скобки:

(sinx - cosx) * (sinx - 2 * cosx) = 0.

Произведение ноль, когда один из множителей ноль:

[sinx - cosx = 0

[sinx - 2 * cosx = 0

[sinx = cosx

[sinx = 2 * cosx

[tgx = 1

[tgx = 2

[x = π/4 + πk, k ∈ Z

[x = arctg2 + πk, k ∈ Z

Ответ: π/4 + πk; arctg2 + πk, k ∈ Z.

Разложение на множители

б) sinx * cosx - √3 * cos²x = 0.

Выделим множитель cosx за скобки:

cosx * (sinx - √3 * cosx) = 0.

Произведение ноль, если один из множителей ноль:

[cosx = 0

[sinx - √3 * cosx = 0

[cosx = 0

[sinx = √3 * cosx

[cosx = 0

[tgx = √3

[x = π/2 + πk, k ∈ Z

[x = π/3 + πk, k ∈ Z

Ответ: π/2 + πk; π/3 + πk, k ∈ Z.

Приведение к квадратному уравнению

в) 3 * sin²x - 3 * sinx * cosx + 4 * cos²x = 0.

Проверим, cosx = 0 является ли решением уравнения? Для этого заменим cosx на 0:

3 * sin²x - 3 * sinx * 0 + 4 * 0 = 0;

sinx = 0.

Но функции синус и косинус не могут одновременно обращаться в ноль, поэтому cosx = 0 не является решением уравнения. Разделим обе части уравнения на cos²x:

3 * tg²x - 3 * tgx + 4 = 0.

Решим квадратное уравнение относительно tgx:

D = b² - 4 * a * c; D = 3² - 4 * 3 * 4; D = 9 - 48 = - 39 < 0.

Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: x ∈ Ø.