Решите уравнение: 5sin^2x+4sin (пи/2+x) = 4

5sin² x + 4sin (п/2 + x) = 4,

Упростим.

sin (п/2 + x) = sin п/2 * cos x + sin x * cos п/2 = 1 * cos x + sin x * 0 = cos x.

sin² x = 1 - cos² x.

5 (1 - cos² x) + 4cos x - 4 = 0.

5 - 5cos² x + 4cos x - 4 = 0.

- 5cos² x + 4cos x + 1 = 0.

Пусть cos x = a. Тогда наше уравнение примет вид.

- 5a² + 4a + 1 = 0.

Имеем квадратное уравнение, для решения найдем дискриминант,

D = b² - 4ac. D = 4 * 4 + 4 * 5 = 16 + 20 = 36. √D = √36 = 6.

D > 0. Значит найдем корни по формуле x1; 2 = (-b ± √D) / 2a,

х1 = ( - 4 - 6) / ( - 5 * 2) = 10/10 = 1,

х2 = ( - 4+6) / ( - 10) = - 2/10 = - 1/5,

cos x = - 1/5,

х = arcсos ( - 1/5) + 2 Пk, k € z.

cos x = 1. Это частный случай.

x = 2 пk, k € z.

Ответ: х = arcсos ( - 1/5) + 2 Пk, k € z.

x = 2 пk, k € z.