Найти интеграл 8x^3 (x^4+1) ^5dx

Рассмотрим неопределённый интеграл ∫ (8 * x³ * (x⁴ + 1) ⁵) dx, которого обозначим через А. По требованию задания, найдём интеграл А. С этой целью введём новую переменную у = x⁴ + 1. Очевидно, что dy = (x⁴ + 1) Ꞌdx = ((x⁴) Ꞌ + 1Ꞌ) dx = (4 * x³ + 0) dx = (4 * x³) dx. Ясно, что А = ∫ (8 * x³ * (x⁴ + 1) ⁵) dx = ∫ (2 * (x⁴ + 1) ⁵ * (4 * x³) dx) = ∫ (2 * у⁵) dy. Используя правило интегрирования ∫ (С * f (x)) dx = C * ∫f (x) dx, где С - константа, и формулу ∫x^αdx = x^{α + 1} / (α + 1), где α ≠ - 1, получим: А = 2 * ∫ у⁵dy = 2 * (y^{5 + 1} / (5 + 1)) + C = ⅓ * у⁶ + С. Сделаем обратную замену. Тогда, имеем: А = ⅓ * (x⁴ + 1) ⁶ + C.

Ответ: ⅓ * (x⁴ + 1) ⁶ + C.