Докажите, что многочлен a² + 14ab + 65b² + 32b + 16 при любых значениях a и b принимает неотрицательные значения

1. Для удобства преобразований обозначим выражение через f (a, b):

f (a, b) = a^2 + 14ab + 65b^2 + 32b + 16.

2. Выделим квадраты двучленов:

f (a, b) = a^2 + 14ab + 49b^2 + 16b^2 + 32b + 16; f (a, b) = (a^2 + 2 * a * 7b + (7b) ^2) + ((4b) ^2 + 2 * 4b * 4 + 4^2); f (a, b) = (a + 7b) ^2 + (4b + 4) ^2. (1)

3. В уравнении (1) функция представлена в виде суммы квадратов, а из этого следует, что при любых действительных значениях переменных она принимает только неотрицательные значения, что и требовалось доказать.