Докажите что при любых значениях переменных многочлен x^2+2x+y^2-4y+5 принимает неотрицательные значения

Для того, чтобы найти, что что при любых значениях переменной x и y многочлен x² + 2x + y² - 4y + 5 принимает неотрицательные значения мы начнем с того, что выделим квадрат суммы и квадрат разности.

Итак, вспомним прежде всего формулы сокращенного умножения:

1) (n + m) ² = n² + 2nm + m²;

2) (n - m) ² = n² - 2nm + m².

Итак, преобразуем многочлен:

x² + 2x + y² - 4y + 5 = x² + 2 * x * 1 + 1² + y² - 2 * y * 2 + 2² = (x² + 2x + 1) + (y² - 4y + 4) = (x + 1) ² + (y - 2) ².

Итак, сумма двух неотрицательных чисел будет всегда неотрицательным числом.