Докажите что многочлен а2 + 4 аб + 5 б2+2 б+1 при любых значениях а и б принимает неотрицательные значения

а² + 4 аb + 5b² + 2b + 1.

Разложим одночлен 5b² на два одночлена: 4b² + b².

а² + 4 аb + 4b² + b² + 2b + 1.

Разобьем многочлен на две группы:

(а² + 4 аb + 4b²) + (b² + 2b + 1).

Свернем каждую группу по формуле квадрата суммы a² + 2ab + b² = (а + b) ².

(а² + 2 * а * 2b + (2b) ²) + (b² + 2 * b * 1 + 1²).

(а + 2b) ² + (b + 1) ².

Квадрат любого числа всегда положительный, значит, значение выражения (а + 2b) ² + (b + 1) ² при любых значениях а и b всегда будет неотрицательным.