Восемь шахматистов играют турнир в один круг (каждый должен сыграть с каждым по одному разу). В какой-то момент главный судья заметил, что первый шахматист сыграл одну партию, второй - две, третий - три, ..., седьмой - семь. Какое наименьшее количество партий мог сыграть к этому времени восьмой шахматист?

Седьмой шахматист сыграл семь партий, значит он сыграл со всеми оставшимися участниками. Это первая партия с восьмым игроком.

Шестой шахматист сыграл шесть партий, но первый шахматист уже сыграл свою единственную партию. Значит, шестой тоже сыграл со всеми, кроме первого, значит тоже сыграл с восьмым.

Пятый шахматист сыграл пять партий, он не мог сыграть с первым и вторым, поэтому он тоже сыграл со всеми, кроме первого и второго, значит тоже сыграл с восьмым.

Четвертый шахматист сыграл четыре партии, он не мог сыграть с первым, вторым и третьим, он сыграл с пятым, шестым, седьмым и восьмым.

Получается, что восьмой шахматист сыграл с седьмым, шестым, пятым и четвертым - 4 партии. Это единственно возможное, значит и наименьшее количество партий.

Ответ: 4 партии.