Докажите, что при любых значениях a и b имеет корни уравнение: (x-a) (x-b) = a^2

Раскрывая скобки и перенося все слагаемые в левую часть уравнения, получим:

x² - (a + b) x + (ab - a²) = 0. Получили квадратное уравнение. Для того, чтоб оно имело корни, необходимо, чтоб его дискриминант был неотрицательным. Дискриминант уравнения равен:

D = (a + b) ² - 4 (ab - a²) = a² + 2ab + b² - 4ab + 4a² = a² - 2ab + b² + 4a² = (a - b) ² + (2a) ².

Так как сумма двух квадратов всегда неотрицательна, до дискриминант неотрицателен.

Значит, уравнение имеет корни при любых значениях a и b.