1. Вычислить: arcsin ( - корень 3/2) + arccos ( - корень 3/2) + arcctg ( - корень 3) 2. Решить уравнение на отрезке [0; 2 Пи]: sin 2x - 1/2 = 0 3. Решить уравнения: а) 2cos^2x + 7sinx - 5 = 0 б) sinx - cosx = 0 в) 4sin^2x - 4sinx * cosx + cos^2x = 0

1. arcsin (-√3/2) + arccos (-√3/2) + arcctg (-√3) = (-π/3) + 5π/6 + (-π/6). Далее приводим к общему знаменателю и раскрываем скобки: - 2π/6 + 5π/6 - π/6 = 2π/6 = π/3

Ответ: π/3

2. sin 2x - 1/2 = 0 на отрезке [0; 2π]

sin 2x = 1/2. Здесь возможно 2 варианта:

1) 2x=π/6 + 2πk. Делим на 2, чтобы получить значение x:

x = π/12 + πk. Подставляем значение x в данный отрезок:

0 < = π/12 + πk < = 2π. Делим на π

0 < = 1/12 + k < = 2. Выносим 1/12 в обе части

-1/12 < = k < = 2-1/12

-1/12 < = k < = 11/12

k в этом случае равно 0, т. к. находится в отрезке [-1/12; 11/12]

Подставляем вместо k 0 и получаем, что x = π/12

Рассмотрим 2 вариант:

2) 2x = 5π/6 + 2 πk. Далее делаем всё аналогично 1 варианту

x = 5π/12 + πk

0 < = 5π/12 + πk < = 2π

0 < = 5/12 + k < = 2

-5/12 < = k < = 2 - 5/12

-5/12 < = k < = 7/12

k в этом варианте равен 0, также, как и в 1, потому что находится в отрезке [-5/12; 7/12]

Подставляем вместо k 0 и получаем, что k = 5π/12

Ответ : π/12; 5π/12

3. а) 2cos^2x + 7sin x - 5 = 0

Заменяем cos^2x на 1 - sin^2x из формулы sin^2x + cos^2x = 1 и получаем

2 (1 - sin^2x) + 7sin x - 5 = 0

Раскрываем скобки

2 - 2sin^2x + 7sin x - 5 = 0

- 2sin^2x + 7sin x - 3 = 0

Делим на (-1), чтобы убрать минус перед уравнением

2sin^2x - 7sin x + 3 = 0

Далее используем замену:

Пусть sin x = t, тогда

2t^2 - 7t + 3 = 0

Получаем квадратное уравнение и находим дискриминант

D = b^2 - 4ac = 49 - 24 = 25

t1,2 = - b+-√D/2a = 7+-5/4 = [ t1=3 и t2=1/2 ]

Подставляем получившиеся значения вместо x

Значит, sin x = 3 (здесь нет решений) или sin x = 1/2

sin x = 1/2 имеет 2 решения : x = π/6 + 2πk и x = 5π/6 + 2πk

Ответ : π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk

б) sin x - cos x = 0

Делим все на cos x и получаем

sin x / cos x - cos x / cos x = 0

tg x - 1 = 0

tg x = 1

x = π/4 + πk

Ответ : π/4 + πk

в) 4sin^2x - 4 sin x * cos x + cos^2x = 0

Делим все на cos^2x и получаем

4tg^2x - 4tg + 1 = 0

Пусть tg x = t, тогда

4t^2 - 4t + 1 = 0

D = 16-16 = 0

t = - b/2a = 4/8 = 1/2

Значит, tg x = 1/2

x = arctg 1/2 + πk

Ответ : arctg 1/2 + πk