1) Вычистлить а) 2 arcsin корень из 2/2 - 1/2 arctg корень из 3. б) ctg (arccos 1/2 + arcsin корень из 3/2) 2) Решить уравнение: a) 3 sin^2 x + 7 cos x - 3 = 0 б) sin^2 x - cos x sin x = 03) Найти корни уравнения sin (2x - П/2) = - 1/2, принадлежащие полуинтервалу (0; 3 П/2].4) Решить уравнение sin (П + 3/4 х) - sin (3 П/2 - 3/4 х) = 05) Решите уравнение 3sin^2x-4sinx*cosx+5cos^2x=0

1) Вычислить:

а) 2arcsin√2/2 - 1/2arctg√3 = 2 * π/4 - 1/2 * π/3 = π/8 - π/6 = - π/24;

б) ctg (arccos 1/2 + arcsin√3/2) = ctg (π/3 + π/3) = ctg (2π/3) = ctg (π - π/3) = - ctg (π/3) = - √3/3.

2) Решим уравнение:

a) 3sin²x + 7cosx - 3 = 0. Воспользуемся формулой sin²x = 1 - cos²x;

3 * (1 - cos²x) + 7cosx - 3 = 0 → 3 - 3cos²x + 7cosx - 3 = 0 → 3cos²x - 7cosx = 0.

Выносим cos (x) за скобки: cosx * (3cosx - 7) = 0 → cosx = 0; x = π/2 + π*k;

3cosx - 7 = 0 → cosx = 7/3, аргумент больше 1 поэтому этот корень лишний.

Ответ: x = π/2 + π * k.

б) Вынесем за скобки sinx; sin²x - cosxsinx = 0 → sinx * (sinx - cosx) = 0 → sinx = 0; x = πn; n∈Z;

sinx = cosx; tgx = 1; x = π/4 + πn; n∈Z.

3) Найдем корни уравнения sin (2x - П/2) = - 1/2, принадлежащие полуинтервалу (0; 3 П/2].

cos2x = - 1/2 → 2x = ± 2π/3 + 2πn; n∈Z; x = ±π/3 + πn; n∈Z.

Корни π/3; 2π/3; 4π/3 находятся в заданном интервале.

4) Решим уравнение sin (П + 3/4 х) - sin (3 П/2 - 3/4 х) = 0, применим формулы приведения.

- sin (3x/4) + cos (3x/4) = 0 → sin (3x/4) = cos (3x/4); tg (3x/4) = 1;

3x/4 = π/4 + πk; k∈Z; x = π/3 + 4πk/3; k∈Z.