Решить уравнение 4sin^2x - 4cosx - 1 = 0

1. Обозначим:

cosx = y, тогда получим:

sin^2 (x) = 1 - cos^2 (x) = 1 - y^2;

4sin^2 (x) - 4cosx - 1 = 0;

4 (1 - y^2) - 4y - 1 = 0;

4 - 4y^2 - 4y - 1 = 0;

3 - 4y^2 - 4y = 0;

4y^2 + 4y - 3 = 0.

2. Вычислим дискриминант квадратного уравнения и найдем его корни:

D/4 = 2^2 + 4 * 3 = 4 + 12 = 16;

y = (-2 ± √16) / 4 = (-2 ± 4) / 4 = (-1 ± 2) / 2;

y1 = (-1 - 2) / 2 = - 3/2; y2 = (-1 + 2) / 2 = 1/2.

3. Для каждого значения 'y' решим уравнение относительно x:

a) y = - 3/2;

cosx = - 3/2 < - 1, нет решений;

b) y = 1/2;

cosx = 1/2;

x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.