Точка M равноудалена от вершин прямоугольника, длины сторон которого равны 4 см и 19 см. найти расстояние от точки М до прямых, на которых лежат стороны прямоугольника, если расстояние от точки М до плоскости прямоугольника равно 5 см

Question

Антонина Сидорова

Математика

6 ноября, 20:32

Точка M равноудалена от вершин прямоугольника, длины сторон которого равны 4 см и 19 см. найти расстояние от точки М до прямых, на которых лежат стороны прямоугольника, если расстояние от точки М до плоскости прямоугольника равно 5 см

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Эхой · Answer 1

Обозначим прямоугольник АВСD.

Пусть стороны АВ = СD = 4 см, а стороны ВС = AD = 19 см.

Известно, что точка, равноудаленная от вершин прямоугольника, лежащая в его плоскости соответствует точке пересечения диагоналей, которые она делит пополам. Обозначим ее точкой О. Так как точка М тоже равноудалена от вершин прямоугольника, то можно утверждать, что ее проекций на плоскость прямоугольника является точка О, при этом МО составляет перпендикуляр к плоскости прямоугольника. Из свойств прямоугольников известно, что диагонали прямоугольника равны. Также точка пересечения диагоналей совпадает с точкой пересечения средних линий прямоугольника. То есть, если опустить перпендикуляр из точки О на каждую из сторон прямоугольника, этот перпендикуляр будет делить каждую сторону прямоугольника пополам и будет равен половине параллельной ему стороне прямоугольника. Обозначим точки пересечения перпендикулярами из точки О точками Ао, Во на стороны АВ и ВС. При этом:

ААо = АоВ = ВоО = 4 : 2 = 2 см;

ВВо = ВоС = АоО = 19 : 2 = 9,5 см;

На две другие стороны перпендикуляры можно не опускать - цифры будут аналогичны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АоМО. Сторона АоМ составит гипотенузу и искомую длину от точки М до прямой, на которой лежит сторона АВ. В этом треугольнике известны оба катета и можно воспользоваться теоремой Пифагора:

АоМ = √‾ (ОМ² + АоО²) = √‾ (5² + 9,5²) = √‾ (25 + 90,25) = √‾115,25 ≈ 10,735455 ...

Аналогична длина и до прямой, на которой лежит сторона CD.

Треугольник МОВо тоже прямоугольный, отрезок МВо составляет его гипотенузу и искомую длину от точки М до прямой, на которой лежит сторона ВС. Известны оба катета, найдем гипотенузу:

ВоМ = √‾ (ОМ² + ВоО²) = √‾ (5² + 2²) = √‾ (25 + 4) = √‾29 ≈ 5,385164 ...

Аналогична длина и до прямой, на которой лежит сторона АD.

Таким образом точка М равноудалена от попарно параллельных сторон прямоугольника. От сторон АВ и СD примерно на 10,74 см, а от сторон ВС и DА примерно на 5,39 см.