Найти наименьшее значение выражения 4sina-5cos^2

1. Вычислим производную функции и найдем критические точки:

y (a) = 4sina - 5cos^2 (a);

y' (a) = 4cosa + 10cosa * sina;

y' (a) = 2cosa (2 + 5sina);

y' (a) = 0;

[cosa = 0;

[sina = - 2/5;

[a = π/2 + πk, k ∈ Z;

[a = - arcsin (2/5) + 2πk; π + arcsin (2/5) + 2πk, k ∈ Z.

2. Вычисли значения функции в критических точках:

a) a = π/2;

y (π/2) = 4sin (π/2) - 5cos^2 (π/2) = 4.

b) a = π/2 + π = 3π/2;

y (3π/2) = 4sin (3π/2) - 5cos^2 (3π/2) = - 4.

c) в тех точках, в которых sina = - 2/5 получим:

cos^2 (a) = 1 - sin^2 (a) = 1 - (2/5) ^2 = 1 - 4/25 = 21/25;

y (a) = 4sina - 5cos^2 (a);

y (a) = 4 * (-2/5) - 5 * 21/25 = - 8/5 - 21/5 = - 29/5 = - 5,8.

Ответ: - 5,8.