Решите неравенство: (х^2-13 х+30) / (х^2+7 х+10) <0

(х^2 - 13 х + 30) / (х^2 + 7 х + 10) < 0. Дробь тогда меньше нуля, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Получается две системы:

(1) х^2 - 13 х + 30 > 0; х^2 + 7 х + 10 < 0.

(2) х^2 - 13 х + 30 0.

1) Решим неравенства по отдельности:

х^2 - 13 х + 30 > 0. Рассмотрим функцию у = х^2 - 13 х + 30, это квадратичная парабола, ветви вверх. Найдем нули функции:

х^2 - 13 х + 30 = 0.

D = (-13) ^2 - 4 * 1 * 30 = 169 - 120 = 49 (√D = 7);

х1 = (13 + 7) / 2 = 10; х2 = (13 - 7) / 2 = 3.

Отмечаем на прямой точки 3 и 10, рисуем параболу через эти точки. Неравенство имеет знак > 0, значит, решение неравенства (-∞; 3) и (10; + ∞).

х^2 + 7 х + 10 < 0.

Рассмотрим функцию у = х^2 + 7 х + 10, это квадратичная парабола, ветви вверх. Найдем нули функции:

х^2 + 7 х + 10 = 0.

D = 7^2 - 4 * 1 * 10 = 49 - 40 = 9 (√D = 3);

х1 = (-7 + 3) / 2 = - 2; х2 = (-7 - 3) / 2 = - 5.

Отмечаем на прямой точки - 5 и - 2, рисуем параболу через эти точки. Неравенство имеет знак < 0, значит, решение неравенства (-5; - 2).

Переносим оба решения (-5; - 2), (-∞; 3) и (10; + ∞) на одну прямую, решение системы (-5; - 2).

2) х^2 - 13 х + 30 < 0. Нули функции равны 3 и 10 (см. выше). Решение неравенства (3; 7).

х^2 + 7 х + 10 > 0. Нули функции равны - 5 и - 2, решение неравенства (-∞; - 5) и (-2; + ∞).

Объединяем оба решения на одной прямой, штрихуем нужные участки и смотрим, где штриховка совпала. Решение системы (3; 7).

Ответ: (-5; - 2) и (3; 7).