При каких значениях а корни уравнения 4 х2 + (3 а2-5|a|+2) х-3=0 равны по модулю, а из знаки противоположны?

Если два числа равны по модулю, а их знаки противоположны, то сумма этих двух чисел будет равна нулю.

Согласно теореме Виета, если сумма корней уравнения 4 х^2 + (3 а^2 - 5|a| + 2) х - 3 = 0 равна нулю, то должно выполняться соотношение:

3 а^2 - 5|a| + 2 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение.

1) а > = 0.

3 а^2 - 5a + 2 = 0;

a = (5 ± √ (25 - 4 * 3 * 2)) / 6 = (5 ± √ (25 - 24)) / 6 = (5 ± √1) / 6 = (5 ± 1) / 6;

a1 = (5 + 1) / 6 = 6 / 6 = 1;

a2 = (5 - 1) / 6 = 4 / 6 = 2/3.

2) а < 0.

3 а^2 + 5a + 2 = 0;

a = (-5 ± √ (25 - 4 * 3 * 2)) / 6 = (-5 ± √ (25 - 24)) / 6 = (-5 ± √1) / 6 = (-5 ± 1) / 6;

a3 = (-5 + 1) / 6 = - 4 / 6 = - 2/3;

a4 = (-5 - 1) / 6 = - 6 / 6 = - 1.

Таким образом, при а = - 1, а = - 2/3, а = 2/3 и а = 1 уравнение 4 х^2 + (3 а^2 - 5|a| + 2) х - 3 = 0 принимает вид 4 х^2 - 3 = 0 и имеет два равные по модулю и противоположные по знаку корни.

Ответ: при а = - 1, а = - 2/3, а = 2/3 и а = 1