Упростите выражение (sina+cosa) ^2 + (sina-cosa) ^2

Нам нужно упростить выражение (sin a + cos a) ^2 + (sin a - cos a) ^2. В этом нам помогут тождественные преобразования и основные тригонометрические тождества.

Действовать будем следующим образом первым делом мы должны открыть скобки, для этого вспомнил ряд формул сокращенного умножения и правил открытия скобок, перед которыми стоят определенные знаки; теперь нам нужно сгруппировать и привести подобные слагаемые; после открытия скобок и приведения подобных применим формулу синус двойного аргумента к полученному выражению; запишем ответ. Упрощаем выражение (sin a + cos a) ^2 + (sin a - cos a) ^2

По плану действий мы должны открыть скобки. В этом нам помогут формулы сокращенного умножения:

1) квадрат суммы (a + b) ^2 = a^2 + 2ab + b^2;

2) квадрат разности (a - b) ^2 = a^2 - 2ab + b^2.

В нашем выражении a = sin a; b = cos a.

Так же применим формулу открытия скобок перед которыми стоит знак плюс или нет никакого знака (в этом случае мы просто убираем скобки) и перед которыми стоит знак минус (убираем скобки и знак перед ними, а в скобках знаки слагаемых меняем на противоположные).

(sin a + cos a) ^2 + (sin a - cos a) ^2 = sin^2 a + 2 * sin a * cos a + cos^2 a - (sin^2 a - 2 sin a * cos a + cos^2 a) = sin^2 a + 2 sin a cos a + cos^2 a - sin^2 a + 2 sin a cos a - cos^2 a;

Приводим подобные слагаемые.

2 sin a cos a + 2 sina a cos a = 4 sin a cos a.

Вспомним формулу - синус двойного аргумента:

sin 2a = 2 sin a cos a;

Применим ее к нашему выражению:

4 sin a cos a = 2 (2 sin a cos a) = 2 sin 2a.

Ответ: 2 sin 2a.

Используя формулы квадрата суммы (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² и квадрата разности (a - b) ² = a² - 2 * a * b + b², получаем:

(sinα + cosα) ² + (sinα - cosα) ² = sin²α + 2 * sinα * cosα + cos²α + sin²α - 2 * sinα * cosα + cos²α = sin²α + cos²α + sin²α + cos²α + 2 * sinα * cosα - 2 * sinα * cosα = 2sin²α + 2cos²α = 2 * (sin²α + cos²α).

Используя тождество sin²α + cos²α = 1, получаем:

2 * (sin²α + cos²α) = 2 * 1 = 2.

Ответ: (sinα + cosα) ² + (sinα - cosα) ² = 2.