Найти наибольшее и наименьшее значения функции. y = x¼ - 8x² - 9 на отрезке [0:3]

1. Область определения:

x ≥ 0; x ∈ [0; ∞).

2. Найдем производную и критические точки функции:

y = x^ (1/4) - 8x^2 - 9; y' = 1/4 * x^ (-3/4) - 16x; 1/4 * x^ (-3/4) - 16x = 0; x^ (-3/4) - 64x = 0; x^ (-3/4) (1 - 64x^ (1 + 3/4)) = 0; (1 - 64x^ (7/4)) / x^ (3/4) = 0.

1) В точке x = 0 производная не определена;

2) 1 - 64x^ (7/4) = 0;

64x^ (7/4) = 1; x^ (7/4) = 1/64; x^7 = 1/2^24; x0 = 1/2^ (24/7) ≈ 0,0929 - точка максимума.

3. Значения функции на границах отрезка [0; 3] и в точке максимума:

y = x^ (1/4) - 8x^2 - 9; y (0) = 0^ (1/4) - 8 * 0^2 - 9 = - 9; y (x0) = (1/2^ (24/7)) ^ (1/4) - 8 * (1/2^ (24/7)) ^2 - 9 = 1/2^ (6/7) - 8 * 1/2^ (48/7) - 9 = 1/2^ (6/7) - 1/2^ (27/7) - 9 ≈ - 8,5170; y (3) = 3^ (1/4) - 8 * 3^2 - 9 = 3^ (1/4) - 81 ≈ - 79,6839.

Ответ:

ymin ≈ - 79,6839; ymax ≈ - 8,5170.