Найдите все простые числа р такие что числа 2 р+1 и 4p+1 являются также простыми

1. Проверим первые два простых числа:

a) p = 2;

2p + 1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5, простое число; 4p + 1 = 4 * 2 + 1 = 8 + 1 = 9, составное число.

b) p = 3;

2p + 1 = 2 * 3 + 1 = 6 + 1 = 7, простое число; 4p + 1 = 4 * 3 + 1 = 12 + 1 = 13, простое число.

2. Представим число p в виде:

p = 3q + r, где q ∈ N, r = 1; 2.

a) p = 3q + 1;

2p + 1 = 2 (3q + 1) + 1 = 6q + 2 + 1 = 6q + 3 = 3 (2q + 1), составное число;

b) p = 3q + 2;

4p + 1 = 4 (3q + 2) + 1 = 12q + 8 + 1 = 12q + 9 = 3 (4q + 3), составное число.

3. Как видим, для всех значений p, не кратных 3, одно из чисел 2p + 1 или 4p + 1 делится на 3, следовательно, единственное число, удовлетворяющее условию задачи - 3.

Ответ: 3.