При каких значениях x произведение (x-3) (x+5) (x+12) неположительно?

Произведение (х - 3) (х + 5) (х + 12) неположительно, значит, оно отрицательно, либо равно нулю.

(х - 3) (х + 5) (х + 12) ≤ 0.

Решим методом интервалов.

1) Найдем нули функции.

(х - 3) (х + 5) (х + 12) = 0;

х1 = 3; х2 = - 5; х3 = - 12.

2) Отметим точки - 12; - 5; 3 на числовой прямой. Эти точки разделят прямую на интервалы: 1) (-∞; - 12], 2) [-12; - 5], 3) [-5; 3], 4) [3; + ∞).

3) Определим знак выражения (х - 3) (х + 5) (х + 12) на каждом из интервалов. На 1 и 3 промежутках данное выражение принимает отрицательные значения, а на 2 и 4 промежутках - положительные.

Так как наше выражение должно быть меньше или равным нулю, то решением неравенства будут 1 и 3 интервалы.

Ответ. (-∞; - 12] ∪ [-5; 3].