Основание равнобедренной трапеции равны 3 и 8, а угол при основании 60 градусов. Найти диагональ. В ромбе АБСД АВ=13 ВД=24 Найти высоту ромба.

1). Пусть дана равнобедренная трапеция АВСD, у которой высота ВК, основания ВС = 3 и АD = 8, а угол при основании ВАD равен 60 градусов, тогда:

(8 - 3) : 2 = 2,5 - расстояние от вершины А до точки К (основания высоты ВК) по свойству равнобедренной трапеции АК = (АD - ВС) / 2;

90° - 60° = 30° - величина ∠АВК, так как ∠ВАК + ∠АВК = 90° в прямоугольном треугольнике АВК;

2,5 ∙ 2 = 5 - гипотенуза АВ, так как АВ = 2 ∙ АК по свойству катета, лежащего напротив угла 30°;

√ (5² + 8² - 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ½) = 7 - диагональ АВСD, так как в ΔАВD по теореме косинуса ВD² = АВ² + АК² - 2 ∙ АВ ∙ АК ∙ cos60°.

Ответ: диагональ трапеции равна 7.

2). Пусть дан ромб АВСD, в котором сторона АВ = 13, диагональ ВD = 24, точка О - точка пересечения диагоналей АС и ВD, тогда:

∠АОВ = 90° - по свойству диагоналей ромба;

ВО = ВD : 2 = 24 : 2 = 12 - по свойству диагоналей ромба;

АО = √ (13² - 12²) = 5, так как в прямоугольном треугольнике АВО по теореме Пифагора выполняется равенство АВ² = АО² + ВО²;

5 ∙ 2 = 10 - диагональ АС;

(10 ∙ 24) / 2 = 120 - площадь ромба ABСD, так как S (ABСD) = (AС ∙ BD) / 2;

120 : 13 = 9 + (3/13) - высота ромба, так как h = S (ABСD) : AВ.

Ответ: высота ромба составляет 9 (3/13).