sinx+sin3x+sin5x+sin7x=0

1. Разбиваем на две группы:

sinx + sin3x + sin5x + sin7x = 0; (sinx + sin3x) + (sin5x + sin7x) = 0.

2. Применяем формулу для суммы синусов:

2sin ((3x + x) / 2) cos ((3x - x) / 2) + 2sin ((7x + 5x) / 2) cos ((7x - 5x) / 2) = 0; 2sin2x * cosx + 2sin6x * cosx = 0.

3. Выносим 2cosx за скобки:

2cosx (sin2x + sin6x) = 0.

4. Еще раз сумма синусов:

2cosx * 2sin ((6x + 2x) / 2) cos ((6x - 2x) / 2) = 0; 2cosx * 2sin4x * cos2x = 0.

5. Находим корни множителей:

[cosx = 0;

[sin4x = 0;

[cos2x = 0; sin4x = 0; 4x = πk, k ∈ Z; x = πk/4, k ∈ Z.

Ответ: πk/4, k ∈ Z.