Решите уравнение: Sinx+Sin3x-Sin5x-Sin7x=0

Поменяем местами некоторые слагаемые:

sinx + sin3x - sin5x - sin7x = 0.

(sinx - sin7x) + (sin3x - sin5x) = 0.

Преобразуем выражения по формуле разности синусов.

2cos ((х + 7 х) / 2) sin ((x - 7x) / 2) + 2cos ((3x + 5x) / 2) sin ((3x - 5x) / 2) = 0.

2cos (4x) sin (-3x) + 2cos (4x) sin (-x) = 0.

-2cos (4x) sin (3x) - 2cos (4x) sin (x) = 0.

Вынесем - 2cos (4x) за скобку:

-2cos (4x) (sin (3x) + sinx) = 0.

-2cos (4x) * 2sin ((3x + x) / 2) * cos ((3x - x) / 2) = 0.

-4cos (4x) * sin (2x) * cosx = 0.

Произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1) - 4cos (4x) = 0;

cos (4x) = 0;

4 х = П/2 + Пn;

х = П/8 + П/4 * n, n - целое число.

2) sin (2x) = 0.

2 х = Пn;

х = П/2 * n, n - целое число.

3) cosx = 0;

х = П/2 + Пn.