В треугольнике АВС А = 45˚, ВС=13 см, а высота ВК отсекает на стороне АС отрезок КС, равный12 см. Найдите площадь треугольника АВС.

Допустим, что угол А и угол С - углы при основании, тогда угол В - вершина. Так как ВК - высота, то треугольник ВКС - прямоугольный. ВС = 13 см, КС = 12 см - по условию. Тогда по теореме Пифагора:

ВС^2 = КС^2 + ВК^2;

ВК^2 = ВС^2 - КС^2;

ВК^2 = 13^2 - 12^2;

ВК^2 = 169 - 144;

ВК^2 = 25;

ВК = 5 см.

Треугольник АКВ - прямоугольный, так как КВ - высота, тогда угол АВК = 90° - 45° (угол А) = 45°, значит, треугольник АКВ - равнобедренный; ВК = АК = 5. Следовательно, АС = АК + КС = 5 + 12 = 17 см.

S треугольника = половина произведения высоты на основание, к которому проведена высота; S ABC = 1/2 * 5 * 17 = 85/2 = 42,5 см^2.

Ответ: 42,5 см^2.